2021-01-07

Virial parameterの導出

Virial parameter

ビリアル定理から導出されるビリアルパラメーターは分子雲が重力的に束縛されているかの指標となる．

ここではそれを導出する．ビリアル定理は以下のように書かれる．

2K + W = 0

2019-05-24

見たままモードでコードを囲む方法

コードを囲うとは

TeXを例にしますが、見たままモードなどで以下のように打つと普通は、MathJaxが勝手に変換をしてしまいます。

[tex:x^2 + y^2 = z^2]

しかし、HTML編集において

<pre><code>[tex:x^2 + y^2 = z^2]</pre></code>

とすることによって読み込ませずに、そのまま表示をさせることができます。

何回も検索してしまうので、備忘録として。

2019-05-23

放射輸送方程式の解

宇宙物理学

放射輸送方程式について

以前、放射輸送方程式について、かなりざっくりした導出をしたので以下をご覧ください。 ${}$

r1ngne.hatenablog.com

放射輸送方程式の解

以下では、放射輸送方程式の解を導出していきたいと思います。放射輸送方程式の形は以下の通りでした。

\begin{align}
\frac{dI_\nu}{dx}=-\kappa_\nu I_\nu+\varepsilon_\nu
\end{align}

ここで、光学的厚み $\tau_\nu\equiv\int_0^x\kappa_\nu dx$ という物理量を導入します。これは、放射の吸収の強さを示しています。この定義から、

$\displaystyle d\tau_\nu=\kappa_\nu dx \\ \displaystyle \therefore \frac{d}{dx}=\kappa_\nu\frac{d}{d\tau_\nu}$

が成り立ちます。これを用いて、放射輸送方程式を変形します。

$\displaystyle \frac{dI_\nu}{d\tau_\nu}=-I_\nu+I_s$

$I_s\equiv\varepsilon_\nu/\kappa_\nu$ は源泉関数と呼ばれるものです。

以下では、吸収係数 $\kappa_\nu$ と放射係数 $\varepsilon_\nu$ が位置 $x$ に依らず、一定であると仮定します。すると上の源泉関数 $I_s$ も一定であり

$\displaystyle\frac{dI_s}{dx}=\frac{dI_s}{d\tau_\nu}=0$

が成り立ちます。これは、上の $x$ から $\tau_\nu$ の変数変換からわかることです。

ところで $I_\nu-I_s$ を $\tau_\nu$ で微分することを考えると、上の議論から

$\displaystyle\frac{d}{d\tau_\nu}(I_\nu-I_s)=\frac{dI_\nu}{d\tau_\nu}$

が成り立ちます。これを変形した放射輸送方程式と見比べると

$\displaystyle\frac{d}{d\tau_\nu}(I_\nu-I_s)=-(I_\nu-I_s)$

であることがわかります。この微分方程式は簡単に解けて、その解は

$\displaystyle I_\nu-I_s=C{\rm e}^{-\tau_\nu}$

となります。 $C$ は定数です。

ここで、 $I_\nu(\tau_\nu=0)=I_\nu(0)$ を初期条件とすると、 $C=I_\nu(0)-I_s$ と定まり、放射輸送方程式の一般解を得ます。

$\displaystyle I_\nu(x)=I_\nu(0){\rm e}^{-\tau_\nu(x)}+I_s(1-{\rm e}^{-\tau_\nu(x)})$

2019-05-22

放射輸送方程式の導出

宇宙物理学

放射輸送方程式とは

ざっくり言うと放射輸送方程式とは、天体からの放射( $\simeq$ エネルギー)がどのように運ばれて、自分たちの元へ飛んでくるのかを表す方程式です。放射は、輻射とも言います。

放射輸送方程式の導出

f:id:r1ngne:20190522123040p:plain — 分子雲における放射と吸収

上図を見てください。宇宙空間には分子雲と呼ばれる気体の塊が存在しており、上図の雲のイラストはそれを模したものです(実際には、このような雲の形ではありませんが…笑)。中身の気体には様々な種類がありますが、その多くは水素( $\rm H_2$ )で、他に二酸化炭素 $\rm CO_2$ などがあります。

ある天体の放射は、地球に届くまでにこのような分子雲などを通過してくることになるのですが、その過程で分子雲内の気体からの影響を受けてしまいます。「これでは天体の放射の情報を得られないじゃないか！」と思うかもしれませんが、分子雲の「影響」を見ることで、逆に分子雲の情報を得ることができます。これをやるための放射輸送方程式です。

じゃあその「影響」とはなんなのか。それは天体の放射が分子雲内の気体によって吸収されることと、逆に気体が放射を行うことの2種類があります。ここでは、気体が放射を吸い取ったり加えたりすると思っておいてください。

では少しずつ、方程式の導出をしていきます。と言っても、準備をしてしまえば式自体はすぐに出てきます。上の図を見ながら考えると、少しはわかりやすいかと思います。

地球に向けられた方向に $x$ 軸を考えます。そして、位置 $x$ における放射強度、つまり放射の大きさを $I_\nu(x)$ で表します。これが天体からの放射というやつです。多くの場合は特定の天体の放射を考えるわけではなく、「宇宙背景放射」というものを想定します。そして、分子雲内の気体の吸収と放射の程度を、吸収係数 $\kappa_\nu(x)$ と放射係数 $\varepsilon_\nu(x)$ によって表します。これらが、分子雲の「影響」の大きさです。 $dx$ という短い距離を考えた時に、放射が $dI_\nu(x)$ だけ変化したとすると