リーマン不変量 - 宇宙観測学生のblog

単位質量あたりの、 $x$ 方向1次元の連続の式と運動方程式から以下の式を導くことができます*。

$\frac{\partial J_{\pm}}{\partial t}+(v\pm C_s)\frac{\partial J_{\pm}}{\partial x}$ =0

ここで、 $v$ は速度、 $C_s$ は音速を表します。

$J_{\pm}$ はリーマン不変量と呼ばれる量で、この場合

$J_{\pm}\equiv v\pm \frac{2C_s}{\Gamma-1}$

と定義されています。このとき、リーマン不変量は曲線 $C_\pm(\frac{dx}{dt}=v\pm C_s)$ 上で不変となります。

(補足)

$F(x,t)$ が $C_+$ 上で一定とすると、

$dF=\frac{\partial F}{\partial t}dt+\frac{\partial F}{\partial x}dx=0$

$\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt}=0$

$\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}(v+C_s)=0$

と、先ほどの式の形が現れます。

* この導出は、後々書き加える予定です。