宇宙観測学生のblog

放射輸送方程式の解

宇宙物理学

放射輸送方程式について

以前、放射輸送方程式について、かなりざっくりした導出をしたので以下をご覧ください。 ${}$

r1ngne.hatenablog.com

放射輸送方程式の解

以下では、放射輸送方程式の解を導出していきたいと思います。放射輸送方程式の形は以下の通りでした。

\begin{align}
\frac{dI_\nu}{dx}=-\kappa_\nu I_\nu+\varepsilon_\nu
\end{align}

ここで、光学的厚み $\tau_\nu\equiv\int_0^x\kappa_\nu dx$ という物理量を導入します。これは、放射の吸収の強さを示しています。この定義から、

$\displaystyle d\tau_\nu=\kappa_\nu dx \\ \displaystyle \therefore \frac{d}{dx}=\kappa_\nu\frac{d}{d\tau_\nu}$

が成り立ちます。これを用いて、放射輸送方程式を変形します。

$\displaystyle \frac{dI_\nu}{d\tau_\nu}=-I_\nu+I_s$

$I_s\equiv\varepsilon_\nu/\kappa_\nu$ は源泉関数と呼ばれるものです。

以下では、吸収係数 $\kappa_\nu$ と放射係数 $\varepsilon_\nu$ が位置 $x$ に依らず、一定であると仮定します。すると上の源泉関数 $I_s$ も一定であり

$\displaystyle\frac{dI_s}{dx}=\frac{dI_s}{d\tau_\nu}=0$

が成り立ちます。これは、上の $x$ から $\tau_\nu$ の変数変換からわかることです。

ところで $I_\nu-I_s$ を $\tau_\nu$ で微分することを考えると、上の議論から

$\displaystyle\frac{d}{d\tau_\nu}(I_\nu-I_s)=\frac{dI_\nu}{d\tau_\nu}$

が成り立ちます。これを変形した放射輸送方程式と見比べると

$\displaystyle\frac{d}{d\tau_\nu}(I_\nu-I_s)=-(I_\nu-I_s)$

であることがわかります。この微分方程式は簡単に解けて、その解は

$\displaystyle I_\nu-I_s=C{\rm e}^{-\tau_\nu}$

となります。 $C$ は定数です。

ここで、 $I_\nu(\tau_\nu=0)=I_\nu(0)$ を初期条件とすると、 $C=I_\nu(0)-I_s$ と定まり、放射輸送方程式の一般解を得ます。

$\displaystyle I_\nu(x)=I_\nu(0){\rm e}^{-\tau_\nu(x)}+I_s(1-{\rm e}^{-\tau_\nu(x)})$